第十一章 “自然无飞跃”古老格言的彻底破灭（中）
4、玻尔的原子结构理论
玻尔于1885年10月7日出生在哥本哈根一个富裕的知识分子家庭。除受正规教育外，家庭的熏陶和鼓励也为他的天赋的充分发展和知识视野的不断扩大创造了良好的条件。他对其他方面，其中包括体育运动，也都表示出强烈的兴趣。在哥本哈根大学读书时，他就作为一个有深刻理解力的研究者而崭露头角。
1906年，他通过细心的实验和严密的推理，精确地利用振动射流测定了水的表面张力，从而获得科学院颁发的金质奖章。当时，他还是一个学生。不过，玻尔有一个最大的特点，也许就是他的思维和理解力的缓慢，他看电影时常常跟不上情节的发展，这一点也表现在科学讨论中。当玻尔成名后，常有物理学家拜访他，就量子论的某个复杂问题发表宏论。别人往往都听明白了，唯独玻尔迷离惝恍，大家只好向他解释来访者的要点，玻尔渐渐懂了。但是，他的理解却往往与来访者的意见完全不同，结果玻尔的理解是对的，来访者的意见却错了。
玻尔这位年轻的丹麦物理学家是偶然走向原子物理学的道路上来的。他1911年的博士论文研究的是“金属电子论探讨”。在玻尔从事新的工作之前，人们已经获得了许多关于原子结构方面的知识。卢瑟福为了解释他所发现的α粒子大角度散射的实验，于1911年提出了原子的核结构模型。但是，核模型却遇到了两个严重的困难：其一是它不具有稳定性，这在前面已经讲过；其二是沿轨道运动的电子应该发出连续光谱，而实际情况并非如此。人们很早就发现，自由原子发出由不连续的谱线组成的光谱。
1885年，巴耳末发现，能用一个经验公式表示当时已知的十四条氢谱线。后来里德伯把它用波长的倒数表示出来。巴耳末公式暗示出还可能存在其他系列的氢谱线，他正确地推断上述公式可以被推广。在二十世纪初，在远紫外区和红外区都发现了许多氢谱线，巴耳末的广义公式在宽广的光谱范围内被证实了。氢以外的其他元素的光谱也观察到是分立的线系。在1913年之前，已有一大批各种精确的光谱数据，其中不少已找出经验公式，但是对这一切还没有恰当的理论解释。
在哥本哈根完成了学业以后，玻尔来到英国剑桥，希望能在J.J.汤姆逊的指导下继续他的电子理论工作。汤姆逊虽然友好地接待了玻尔，但是汤姆逊对该课题已失去兴趣，对玻尔的论文也不重视，以致该论文无法付印。这种挫折并末使玻尔灰心丧气，他一有时机就到曼彻斯特拜卢瑟福为师。卢瑟福凭着他的敏锐的判断力，很快就觉察到这位腼腆、谦虚的年轻人的天才，他对玻尔关怀备至。自1912年3月到7月，玻尔在这里全力以赴，发奋工作，终于为自己在物理学上取得伟大成就奠定了坚实的基础。
起初，卢瑟福分配给他的研究课题由于缺乏镭放射物而中断，在等待材料期间，他研究了一篇α粒子吸收的文章，发现其中忽略了α粒子与原子中电子的束缚力。这年6月，他把自己电子论的题目搁置起来，完全致力于原子模型的研究。
6月12日，他在写给哥哥的信中谈到他为什么要改变原先的计划：“可能我已找到了原子结构的一个小的颗粒。……如果我是正确的，那将不是一个可能性的征兆，而多半是一个小的实体。已经完全抛弃的一个小东西的信息，我又从α粒子的吸收得到……，你可以想象我是多么热切希望很快地结束这项工作，我已经停止进实验室好多天了”。
玻尔所谓的“一个小东西的信息”，很可能是指核原子在力学上是不稳定的发现。汤姆逊和剑桥大学正由于这个原因而拒绝核模型，而玻尔反倒欢迎核模型，因为这说明原子里的电子需要一种非力学的力来稳定。
玻尔发觉了隐藏在卢瑟福核模型中的深刻含义，他分析了电子和原子核(这个词是在玻尔1913年的论文中首先使用的)的显著差别后指出，物质的化学性质由核外的电子决定，质量和放射能则在于原子核。玻尔拟定以卢瑟福的原子模型为基础，并引入能量子，从而达到汤姆逊所设想的目标——用原子结构说明元素周期律和化学性质。
玻尔在1912年7月离开曼彻斯特，他对进一步探索所展现出的广阔前景充满着幻想和希望。同年秋天，他在哥本哈根任教，同时着手总结他在曼彻斯特的学术思想。1913年，玻尔的思想突然转向原子辐射问题。这年2月初，他向他的朋友、著名的光谱学家汉森介绍自己的原子结构时询问到：用它能说明光谱吗？
玻尔想，光谱这东西太复杂了，大概不会成为弄清原子结构的钥匙，不必为此而枉费心机。对此，汉森反驳道：从巴耳末公式看，光谱未必是复杂的。玻尔得知，光谱学家已经从这些杂乱无章的谱线里发现出规律性，这使他惊叹不已。
汉森的一席话使玻尔顿开茅塞，他事后曾说：“我一看到巴耳末公式，就全都清楚了”。的确，这一公式的思路太明显了，能由此推导出对辐射过程的量子化描述，他相信这是正确的，尽管这意味着与经典思想实行彻底的决裂。
年轻时，玻尔就喜欢听他父亲和朋友们讨论深奥的哲学问题，往往一听就是几个小时。当他读了一位丹麦作家写的阐述黑格尔辩证法的小册子后，他对哲学产生了浓厚的兴趣。正是年轻时获得的辩证思想，使玻尔摆脱了传统观念的束缚。以此为转机，玻尔文思如泉，他只用一个多月时间就完成了论文的初稿，最后在1913年4月初定稿。
玻尔一组论文(共三篇)的题目是“论原子和分子的构成”，在这里他提出了自己的原子结构模型。玻尔假定，电子绕原子核做圆形轨道运动。在一定的轨道上运动的电子具有一定的能量，称为定态，在定态下运动的电子并不辐射能量。原子可以有许多定态，其中能量最低的定态叫基态。原子中的电子从一个定态跃迁到另一个定态时，会放出或吸收辐射能，其频率由初态和终态之间的能量差来决定。
最后，玻尔还提出了下述量子化规则。原子可能存在的各种定态是不连续的(即量子化的)，电子运动的角动量P必须等于h／2π的整数倍。这个规则在1923年被玻尔称之为对应原理。根据这些假定，玻尔计算出氢原子中处于各定态的电子的轨道半径和能量，圆满地解释了巴耳未—里德伯经验公式。特别是从这些假定推导出的用其他已知常数表示的氢原子的里德伯常数，通过计算，其值与实验符合得很好，这本身就是玻尔理论正确性的证明。
玻尔的理论能够方便地说明原子物理学、光谱学和化学中的一些实验事实，因而很快地受到学术界的欢迎。他论文的头一篇发表于1913年6月，在同年9月召开的英国科学促进协会年度大会上，它的价值被公认了，量子论成为大会物理组的中心议题。金斯也改变了自己原先的态度，他在总结报告中断定，作用量子的采用是势在必行的，他称赞玻尔理论对线光谱规律的说明最巧妙、最有启发性、最有说服力。
但是J.J.汤姆逊却不欣赏玻尔的工作，他认为任意规定一个量子化条件，并赋予其动力学意义，这不是物理学，而只是掩盖无知。因此，他在会上声称，大概没有一件能比以正统的力学方式得到原子理论的结果更让人放心了。这种恢复旧观念的努力当然阻挡不住量子论发展的强大洪流。
第一次世界大战结束后，大学刚刚复课，汤姆逊承认自己跟不上形势，从而辞去卡文迪许实验室主任的职务，并推荐卢瑟福为继任人。但是汤姆逊并没有放弃物理学，也没有放弃对量子论的异议。
在玻尔之前。量子论涉及的仅仅是与辐射有关的问题，玻尔理论表明，即使对于原子的行为，能量子也具有不可估量的意义。在当时，玻尔理论代表着量子论发展的主流，对量子力学的形成起了巨大的推动作用。爱因斯坦在二十年代初这样评论道：玻尔的“思辨所大胆选择的假设基础，很快地成为原子物理学的主要支柱。从玻尔作出最初发现以来，虽然还不到十年，但是这个由他提出主要轮廓及大部分内容的体系，却已经完全支配着物理学和化学，以致所有以前的体系在专家们看来都已经过时了。”
这个时期的物理学家，特别是那些后起之秀都把研究目标集中在了玻尔理论提出的许多问题上面来。1913年和1914年，莫塞莱在曼彻斯特做出了出色的工作，开辟了X射线光谱学这一新领域。斯塔克发现氢光谱线在电场中发生分裂。J·弗兰克和G·赫兹发现电子被许多气体原子阶梯式减速，从轰击的电子传到受打击的原子上的能量仅发生在取决于原子的一起的分立量上。这些实验为研究系统的动力学行为提供了新的途径，不久玻尔对这些情况亲自作了概括说明。
还有一些人沿着玻尔的路线，在解释光谱学的实验结果中，从理论上不断丰富了玻尔原子结构理论。为了解释氢光谱的双线现象(斯塔克效应)，1915年索末菲提出了电子运动的椭圆形轨道概念，引进了角量子数，后来改为轨道量子数。其次，他考虑到电子的质量随电子运动速率的变化，经过计算得到，玻尔理论中氢原子的一个定态会分裂为若干能量稍有不同的定态，即原先的一条谱线分裂为若干条谱线，这种所谓的“精细结构”与实验观察完全一致。
1916年，索末菲又根据原子光谱在磁场中分裂的事实，提出了磁量子数，以表示电子的角动量在磁场中的可能取向。到1925年，高德斯密特和乌伦贝克为了解释碱金属光谱的精细结构，提出了电子自旋的概念，于是又增加了自旋量子数。同年，泡利提出了不相容原理，即在同—原子内，两个电子不能同处于一个量子态。
5、对应原理
在二十世纪的头十多年，量子论经普朗克、爱因斯坦、玻尔等人之手，已为自己的存在争得了合法的立足之地。但是，它无论在内容和形式上，还或多或少地保留着经典理论的痕迹，在某些方面还是由一些假设、原理、规定和计算拼凑起来的大杂烩，没有形成一个严密的理论体系。在量子论发展史上，这往往被称为旧量子论或早期量子论。
量子论后来遵循着两条独立的路线发展着：一条由爱因斯坦关于辐射的波粒二象性思想出发，经过德布罗意的物质波概念，到达薛定谔的波动力学；另一条由玻尔的对应原理开始，导致了海森伯等人的矩阵力学的建立。
玻尔1913年的工作开辟了一个广阔的新天地，实验工作蓬勃开展，理论研究也急剧变化。玻尔那种幽居独思的方式已为一种相互协作、共同探讨的作风所代替。1916年，第一个投身到玻尔那里的是一位年轻的荷兰人克拉姆斯，在以后的十年里，他成为玻尔的不知疲倦的助手和有才华的合作者。
在此期间，还有许多学者来到玻尔那里工作，其中有年轻的克莱因、泡利、海森伯和狄喇克等人。玻尔也经常和慕尼黑的索末菲、哥廷根的玻恩、约尔丹和莱比锡的海森伯等人为首的研究团体保持着经常的密切联系。这样，在二十年代，以玻尔为中心，以哥本哈根理论物理研究所和德国的几个城市为基地，聚集了一文强大的科学研究队伍，形成了世界上力量最雄厚的理论物理学派——哥本哈根学派。
当时，哥本哈根成为“原子物理学的首都”和“量子物理学家的麦加”，哥本哈根学派一直在量子力学的创立和发展中起着主导作用，因此有人称其为正统学派，而玻尔则是这个学派公认的领袖。
物理学家、被誉为原子弹之父的奥本海默后来在回顾量子力学的历史时，曾高度地评价了玻尔的历史功绩。他说：“量子力学的建立不是哪一个人的功绩，而是来自不同国度的许多科学家共同努力的结果。然而从开始到结束，玻尔那种充满创造性的深刻思想和敏锐的、长于批判的精神，自始至终引导、制约着事业的前进，使之深入，直到最后完成。”
但是，玻尔的卓越才干也具有明显的局限性，他在凭借直观构造概念方面是无与伦比的，而在数学方法的运用上却比自己的同行和学生逊色很多。玻尔本人对这一点也直言不讳，他十分形象地说：他对物理学的兴趣与其说是数学家的兴趣，还不如说是工匠和哲学家的兴趣。
前面已经涉及到玻尔模型的固有缺陷和面临困难。最严重的问题也许在于，电子在这个模型中由量子条件规定而作周期运动，因而它应以一定的频率绕核旋转，然而这个频率绝不会在观察中出现，我们绝不会看到它。我们看到的是一些不同的频率，每一频率决定于从一个定态跃迁到另一个定态的能量差。后来，索末菲虽然引入角量子数和磁量子数，说明了氢光谱的精细结构、斯塔克效应和塞曼效应，可是这个条件本身的根据并不充分，也看不到把它推广到非周期系统的方法。用当时的理论即使能够计算谱线的频率，却不能给出它的偏离和强度。为了弥补这些缺点，出现了埃伦菲斯特的绝热假说和玻尔的对应原理，特别是后者，为矩阵力学的建立提供了指导原则。
对应原理的萌芽在1913年已经破土而出了，但明确形成则是在1918年。把量子论看成经典理论合理推广的企图导致了对应原理的陈述。玻尔认为，在极大量子数的态间跃迁的情况下，经典描述也应该是有效的。如果把原子当作多周期系统来分析，它的运动状态就可以用傅立叶级数描述为一系列谐振子运动的迭加，每一个振子都以一个确定的频率或它的整数倍的频率振动，其振辐也是一定的。
确实可以证实，极大量子数的态间跃迁频率与经典频率之间存在着大致的倍数关系，这个因子就是两个态间的量子数之差。因此，在大量子数的情况下，可以直接用经典的振辐来计算量子跃迁的强度。玻尔进一步把这些看法推广到多自由度的情况。
对应原理的实质在于，从前的经典规律和新的量子规律之间存在着某种对应关系，从对应关系上看，前一类定律是后一类定律的极限或个别情况。在附加上一定的条件后，二者之间就可以互相“转换”。1919年，克拉姆斯将对应原理用来处理斯塔克效应，其结果与观察一致，从而证实了它的有效性。
但是，它也不能对一切问题都作出直接的回答，它只是提供了线索，为了作出具体的解答，还必须加上种种限制和猜测。值得注意的是，它不仅为建立矩阵力学的数学结构起了前导作用，而且在认识论上也具有“巨大的意义”。
6、海森伯的矩阵力学
矩阵力学也许可以看作是用定量的关系来代替定性的对应原理的一个成功的尝试，它是海森伯在玻恩和约尔丹的协助下完成的。海森伯从1920年起在慕尼黑大学就学于索末菲，攻读理论物理专业，1923年得到博士学位后到哥廷根大学玻恩手下任助教，从1924年开始，他到哥本哈根理论物理研究所，在玻尔指导下从事研究工作。
海森伯一向认为，要解决新的物理学问题，需要大胆的思维。他说过：“在每一个崭新的认识阶段，我们永远应该以哥伦布为榜样，他勇于离开他已熟悉的世界，怀着近乎狂热的希望到大洋彼岸找到了新的大陆。”
1924年，在哥廷根的一次讨论会上，海森伯曾经强调指出，把量子论的困难单单归诸于辐射与力学体系间的相互作用是不正确的。他认为力学必须加以改造，必须用某种量子力学来代替(量子力学这个词大概是玻恩在1924年的一篇论文中首次使用的)，方能提供理解原子现象的基础。玻恩当时也注意到，量子论中代表跃迁特征的量对应于古典理论中振辐的平方，并发现了这种量的乘法规则，他想这也许是通向新力学的途径。
海森伯也常参加玻恩的讨论会，玻恩的思想无疑对他有启发。其实，海森伯先前还热衷于把量子论推广到谐振子之外，围绕着非谐振子问题进行了考虑。他还借助于一条重要的方法论原则，即可观察性原则。这个原则要求，在理论上应该抛弃那些原则上不可观测的量，而直接采用可观测的量。
海森伯事后曾这样谈到他那时的想法：“经典力学除了给出原子结构的某些定性的图景以外，显然不可能给出更多的东西，至于电子的周期性轨道，可能根本就不存在。直接观测到的不过是分立的定态能量和谱线强度，也许还有相应的振幅与位相，但绝不是电子的轨道。唯一的出路是建立新型的力学，其中分立的定态概念可以是基本的，而电子轨道概念看来是应当抛弃的。这个新的力学还应当能给出强度的定量估计，也就是光子辐射的几率变化，因此在设想的新的图景中可以期望出现统计的因素。”
1925年春夏之间，海森伯从哥本哈根返回哥廷很。同年6月，他因患枯草热病到海利戈兰特去疗养。在这期间，在他的头脑中孕育着一个极为大胆的新思想。疗养结束后，他立即完成了一篇具有历史意义的论文“关于运动学和力学关系的量子论的重新解释”。在论文中，海森伯抛弃了经典的电子轨道概念及其有关的经典运动学量，而代之以可观测到的频率和强度这些光学量。而在海森伯之前，人们所做的只是把玻尔轨道进行傅立叶分析，玻尔轨道的那些系数当然同实验毫无关系。
海森伯用一些同实验有比较密切关系的量来代替这些系数，这些量同辐射跃迁有关，它们每一个都涉及到两个状态。当仔细考察其中每一个都同两个状态相联系的量时，他发现这些量是不可对易的。本来，这种不可对易的代数学就是矩阵运算，但是当时海森伯并不了解它。他曾对玻尔说：“现在有学问的哥廷根数学家们这样起劲地谈论什么厄密矩阵，而我却甚至连什么是矩阵都不知道。”
海森伯感到自己无法将问题再推进一步，便于1925年7月将他的论文原稿交给他的老师玻恩，要玻恩决定是否应当发表，并问该论文是否有点用处。玻恩觉得这篇论文似乎显得“神秘”，但无论如何也是正确的。
玻恩后来回忆当时的情景说：“我不顾它的神秘的外表，而坚定地认为它是正确的，这就似乎表明当时我已经发现，海森伯的不寻常的演算实际上不过是人所共知的矩阵演算，而且我已经看出，海森伯对惯常的量子条件所做的新表述，表示了矩阵方程的对角线元素。因此对于其余的元素，这个量必定是零。”
玻恩和他的助手约尔丹讨论了海森伯的论文，并引入了矩阵运算。他们三人于1925年11月合著论文，建立了矩阵力学的理论体系。这样一来，经典力学中的坐标和动量便被厄密矩阵所取代。由这些矩阵可以构造出汉密尔顿短阵。当这个汉密尔顿矩阵经过酉变换而成为对角形时，对角线上的元素就是该系统的可能量。
就在同年的8、9月间，刚刚进入物理学前沿的英国青年狄喇克也看到了海森伯论文的校样，他起初并未引起重视，因为它与汉密尔顿理论有点不一致。十多天后重读这篇论文时，他突然顿悟到，它包含着打开原子世界秘密的钥匙。但是，他不满意海森伯的数学表述，企图利用一种数学工具把海森伯的矩阵力学纳入汉密尔顿体系。
10月的一个星期天，狄喇克独自到乡下散步，但他的脑子总甩不掉那个对易子。他突然想到泊阿松括号，这是法国数学物理学家泊阿松在1809年为研究行星起动而创造的，它是经典力学最有力的分析工具之—。能用极简明的形式表示经典力学的基本方程。于是，他把对易子和泊阿松括号联系起来，提供了处理量子论中力学量的偏微分方法。狄喇克于1925年11月完成了论文，轻轻扫去了横在玻恩、海森伯和约尔丹三人面前的巨大障碍，一举构造出量子力学的数学体系，使量子力学大大前进了一步。